1. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
1. K H A I T R I Ể N N HỊ TH Ứ C N E W T O N
( a + b ) n = Cn a n + Cn a n −1b + ... + Cn a n −k b k + ... + Cn −1ab n −1 + Cn b n
0 1 k n n
k n!
trong đó Cn = và m! = 1.2.... ( m − 1) m với qui ước 0! = 1
k !( n − k ) !
2. C Á C CÔ N G T HỨ C N G UY Ê N H À M L Ư Ợ N G G I Á C
1 1
∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c
dx 1 dx 1
∫ cos 2
= tg ( ax + b ) + c
( ax + b ) a ∫ sin 2
( ax + b )
= − cotg ( ax + b ) + c
a
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
∫
I. Dạng 1: A1.1 = ( sinx ) dx ; A1.2 ( cosx ) dx ∫
n n
1. Công thức hạ bậc
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x − sin 3x + 3 sin x cos 3x + 3 cos x
sin 2 x = ; cos 2 x = ; sin3 x = ; cos 3 x =
2 2 4 4
2. Phương pháp
2.1. Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
2.2. Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.
2.3. Nếu 3 ≤ n lẻ (n = 2p +1) thì thực hiện biến đổi:
dx = ( sin x ) sin xdx = − ( 1 − cos 2 x ) d ( cos x )
p
∫
A1.1 = ( sinx ) dx = ( sinx ) ∫ ∫ ∫
n 2p+1 2p
= −  Cp − Cp cos x + ... + ( − 1) C p ( cos x ) + ... + ( − 1) C p ( cos x )  d ( cos x )
 0 k p

∫
1 2 k k 2 p p 2
 
 0 1 1 ( − 1) k k 2k +1 ( − 1) p p 2p +1 
Cp ( cos x ) C p ( cos x )
3
= −  Cp cos x − C p cos x + ... + + ... + +c

 3 2k + 1 2p + 1 

25

2. ∫ ( 1 − sin x ) d ( sin x )
p
∫
A1.2 = ( cosx ) dx = ( cosx ) ∫
dx = ( cos x ) cos xdx = ∫
n 2p+1 2p 2
= C0 − C1 sin 2 x + ... + ( −1) Cp ( sin 2 x ) + ... + ( −1) C p ( sin 2 x )  d ( sin x )
k p
∫
k k p p
 p p 
 1 ( −1) k k 2k +1 ( −1) p p 2p +1 
=  C0 sin x − C1 sin 3 x + ... +
p p C p ( sin x ) + ... + C p ( sin x ) +c
 3 2k + 1 2p + 1 
3
 1 + cos 2 x 
∫ ( cos x ) dx = ∫ 
3
∫
• A1 = cos 6 xdx = 2
÷ dx
 2 
∫ ( 1 + 3cos 2x + 3cos 2x + cos 2x ) dx
1
( 1 + cos 2x ) 3 dx = 1
∫
2 3
=
4 4
1  3 ( 1 + 2 cos 4x ) cos 3x + 3cos x 
=
4  ∫
1 + 3cos 2x +
2
+
4
÷dx

1  1 
=  7x + 6 sin 2x + 3sin 4x + sin 3x + 3sin x ÷ + c
16  3 
1
∫ ( 1 − cos 5 x ) d ( cos 5 x )
4
∫ ∫
• A2 = ( sin5x ) dx = ( sin 5 x ) ( sin 5 x ) dx = −
9 8 2
5
∫ [ 1 − 4 cos 5x + 6 cos 5x − 4 cos 5x + cos 5x ] d ( cos 5x )
1 2 4 6 8
=−
5
1 4 3 6 5 4 7 1 9 
= −  cos 5x − cos 5x + cos 5x − cos 5x + cos 5x ÷ + c
5 3 5 7 9 
∫
m n
II. Dạng 2: B = sin x cos x dx (m, n∈N)
1. Phương pháp:
1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên
a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
b. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:
dx = ( sin x ) ( cos x ) cos xdx = ( sin x ) ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x )
p
∫
B = ( sinx ) ( cosx ) ∫ ∫
m 2p+1 m 2p m
= ( sin x )  Cp − Cp sin x + ... + ( − 1) Cp ( sin x ) + ... + ( −1) Cp ( sin x )  d ( sin x ) =
m  0 k p

∫
1 2 k k 2 p p 2
 
 0 ( sin x ) m +1 1 ( sin x )
m+ 3
( ) 2k +1+ m ( ) 2p +1+ m 
 Cp − Cp + ... + ( −1) k C k sin x
p
+ ... + ( −1) p C p sin x
p +c

 m +1 m+3 2k + 1 + m 2p + 1 + m  
c. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:
26

3. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
( cosx ) n dx = ( cos x ) n ( sin x ) 2 p sin xdx = − ( cos x ) n ( 1 − cos 2 x ) d ( cos x )
p
∫
B = ( sinx ) ∫ ∫
2p+1
= − ( cos x )  C p − C p cos x + ... + ( −1) C p ( cos x ) + ... + ( −1) C p ( cos x )  d ( cos x ) =
n 0 k p

∫
1 2 k k 2 p p 2
 
 0 ( cos x ) n +1 1 ( cos x )
n+3
k k ( cos x )
2k +1+ n
p p ( cos x )
2p +1+ n

−  Cp − Cp + ... + ( − 1) C p + ... + ( − 1) C p +c

 n +1 n+3 2k + 1 + n 2p + 1 + n  
d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx ta có:
n −1 m −1
B = sin m x cos n xdx = ( sin x ) ( cos 2 x )
∫ ∫ cos xdx = u m ( 1 − u 2 )
∫
m
2 2 du (*)
m +1 n −1 m + k
• Tích phân (*) tính được ⇔ 1 trong 3 số ; ; là số nguyên
2 2 2
2. Các bài tập mẫu minh họa
1
∫
• B1 = ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫
( sin 2 x ) 2 ( cos x ) 2 dx
2 4
4
1 1
=
16 ∫ ( 1 − cos 4x ) ( 1 + cos 2x ) dx = 16 ∫ ( 1 + cos 2x − cos 4x − cos 2x cos 4x ) dx
1  1 
=
16 ∫ 1 + cos 2x − cos 4x − 2 ( cos 6x + cos 2x )  dx
 
1 1  sin 2x sin 4x sin 6x 
=
32 ∫ ( 2 + cos 2x − 2 cos 4x − cos 6x ) dx = 32  2x +
 2
−
2
−
6 
÷+ c
∫ ∫
• B2 = ( sin5x ) ( cos5x ) dx = ( cos 5 x ) ( sin 5 x ) sin 5 x dx
9 111 111 8
−1
( cos 5x ) 111 ( 1 − cos 2 5x ) d ( cos 5x )
4
=
5 ∫
1
( cos 5x ) 111 ( 1 − 4 cos 2 5x + 6 cos 4 5x − 4 cos 6 5x + cos 8 5x ) d ( cos 5x )
=−
5 ∫
1  ( cos 5x ) 4 ( cos 5x ) 6 ( cos 5x ) 4 ( cos 5x ) ( cos 5x ) 120 
112 114 116 118
=−  − + − + +c
5  112 114 116 118 120 
( sin3x ) 7 −4
−1 −4
( cos3x ) 5 ( 1 − cos 2 3x ) d ( cos3 x )
3
∫ ∫
dx = ( cos3x ) 5 ( sin3 x ) sin3 xdx = ∫
6
• B3 = 5
cos 4 3x 3
−4
−1
( cos 3x ) 5 ( 1 − 3cos 2 3x + 3cos 4 3x − cos 6 3x ) d ( cos 3x )
=
3 ∫
−1  1 15 11 15 21 5 31 
= 5 ( cos 3x ) − 11 ( cos 3x ) + 21 ( cos 3x ) − 31 ( cos 3x )  + c
5 5 5 5
3  
27

4. 3
dx dx 1  1  dx
B4 = ∫ ( sinx ) = ∫ = ∫  ÷
• ( cosx ) 5
( cos xx )
3 3
sin tg 3 x  cos 2 x  cos 2 x
cos8 x
( 1 + tg x )
3
2 2 4 6
1 + 3 tg x + 3 tg x + tg x
= ∫ d ( tg x ) = ∫ d ( tg x )
( tg x ) 3 tg x
3
 3 3  −1 3 2 1 4
=  ( tg x ) +
−3
∫ + 3 tg x + tg x  d ( tg x ) = 2
+ 3ln tg x + tg x + tg x + c
 tg x  2 tg x 2 4
dx cos xdx ( 1 − sin 4 x ) + sin 4 x d ( sin x )
• B5 = ∫ sin4 xcosx ∫ sin 4 x cos2 x ∫ sin 4 x ( 1 − sin 2 x ) ∫ sin 4 x ( 1 − sin 2 x ) d ( sin x )
= = =
d ( sinx )
2
1 + sin x −1 1 1 1 + sin x
= ∫ sin x
4
d ( sin x ) + ∫ 1 − sin 2
x
=
3 ( sin x )
3
− + ln
sin x 2 1 − sin x
+c
−5 −1 −5 −4
dx
• B6 = ∫ 3
sin5 xcosx
∫
= ( sin x ) 3 ( cos x ) 3
∫
dx = ( sin x ) 3 ( cos x ) 3 cos x dx
−2
−5 −2
−3  1 − u 3
−5 −4 2
∫
= ( sin x ) 3 ( cos x ) 3 d ( sin x ) = u ∫
3 (1 − u ) 2 3
∫
du = u  2
 ÷ du
÷
 u 
13 13
1 − u2  1 − u2   cos 2 x  −2
Đặt = v3 ⇒ −2u −3 du = 3v 2 dv ; v =  2
 ÷ =
÷  ÷ = ( tg x ) 3
÷
u2  u 
2
 sin x 
−2
 2
3 −2
⇒ B = u −3  1 − u −3 3 3
dv = − v + c = − ( tg x ) 3 + c
6  2
 u
∫ ÷ du =
÷
 2 2 2 ∫
−5 −2
1 dx 3
B7 = ∫ × 2 = ∫ ( tg x ) 3 d ( tg x ) = − ( tg x ) 3 +c
( )
Cách 2: sin x
5
cos x 2
3
cos x
∫ ( tg x ) ∫ ( cotg x )
n n
III. Dạng 3: C 3 . 1 = dx ; C 3 . 2 = dx (n∈N)
1. Công thức sử dụng
dx
∫ ( 1 + tg x ) dx = ∫ cos x = ∫ d ( tg x ) = tg x + c
2
• 2
dx
∫ ( 1 + cotg x ) dx = −∫ sin x = −∫ d ( cotg x ) = − cotg x + c
2
• 2
d ( cos x )
sin x
• ∫ tg xdx = ∫ cos x dx = −∫ cos x
= − ln cos x + c
cos x d ( sin x )
• ∫ cotg xdx =
sin x
dx = ∫
sin x
= ln sin x + c ∫
28

5. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
2. Các bài tập mẫu minh họa
• C1 = ∫ ( tgx )
2k
dx = ∫ ( tg x ) ( 1 + tg 2 x ) − ( tg x ) 2k − 4 ( 1 + tg 2 x ) + ( tg x ) 2k − 6 ( 1 + tg 2 x ) −
2k − 2
− ( tg x )
2k − 8
( 1 + tg 2 x ) + ... + ( −1) k −1 ( tg x ) 0 ( 1 + tg 2 x ) + ( −1) k  dx

= ( tg x )
∫ − ( tg x ) + ( tg x ) − ... + ( −1) ( tg x )  d ( tg x ) + ( −1) dx
2k − 2 2k − 4 2k − 6 k −1
∫
0 k
 
( tg x ) 2k −1 ( tg x ) 2k −3 ( tg x ) 2k −5 k −1 tg x ( ) k
= − + − × ×+ ( −1)
× + −1 x + c
2k − 1 2k − 3 2k − 5 1
• C2 = ∫ ( tgx )
2k+1
dx = ∫ ( tg x )
2 k −1
( 1 + tg 2 x ) − ( tg x ) 2 k −3 ( 1 + tg 2 x ) +
+ ( tg x )
2k − 5
( 1 + tg 2 x ) − ... + ( −1) k −1 ( tg x ) ( 1 + tg 2 x ) + ( −1) k tg x  dx

= ( tg x ) − ( tg x ) + ( tg x ) − ... + ( −1) ( tg x )  d ( tg x ) + ( −1) tg xdx
k −1
∫ ∫
2k −1 2k − 3 2k −5 k
 
( tg x ) 2k ( tg x ) 2k −2 ( tg x ) 2k − 4 k −1 ( tg x ) 2 ( ) k
= − + − ×××+ ( −1) − −1 ln cos x +c
2k 2k − 2 2k − 4 2
• C3 = ∫ ( cotgx )
2k
dx = ∫ ( cotg x )
2k −2
( 1 + co tg 2 x ) − ( cotg x ) 2k −4 ( 1 + co tg 2 x ) +
+ ( cotg x )
2k − 6
( 1 + co tg 2 x ) − ... + ( −1) k −1 ( cotg x ) 0 ( 1 + co tg 2 x ) + ( −1) k  dx

= − ( cotg x )
∫ − ( cotg x ) + ... + ( −1) ( cotg x )  d ( cotg x ) + ( −1) dx ∫
2k − 2 2k − 4 k −1 0 k
 
 ( cotg x ) 2k −1 ( cotg x ) 2k −3 ( cotg x ) 2k −5 k −1 cotg x

− ×××+ ( −1)  + ( −1) x + c
k
=− − +
 2k − 1 2k − 3 2k − 5 1 
• C4 = ∫ ( cotgx )
2k+1
dx = ( 1 + co tg 2 x ) − ( cotg x ) 2k −3 ( 1 + co tg 2 x ) +
∫ ( cotg x )
2 k −1
+ ( cotg x )
2k − 5
( 1 + co tg 2 x ) − ... + ( −1) k −1 ( cotg x ) 1 ( 1 + co tg 2 x ) + ( −1) k cotg x  dx

= − ( cotg x )
∫ − ( cotg x ) + ... + ( −1) ( cotg x )  d ( cotg x ) + ( −1) cotg x dx ∫
2k −1 2k − 3 k −1 k
 
 ( cotg x ) 2k ( cotg x ) 2k − 2 k −1 ( cotg x )
2

+ ×××+ ( − 1)  + ( −1) ln sin x + c
k
= − −
 2k 2k − 2 2 
29

6. ∫ ( tgx + cotgx ) dx = ( tg x ) + 5 ( tg x ) cotg x + 10 ( tg x ) ( cotg x ) +
∫
5 5 4 3 2
• C5 = 
+10 ( tg x ) ( cotg x ) 3 + 5 tg x ( cotg x ) 4 + ( cotg x ) 5  dx
2

= ( tg x ) + ( cotg x ) + 5 ( tg x ) + 5 ( cotg x ) + 10 tg x + 10 cotg x  dx
∫
5 5 3 3
 
= ∫ ( tg x ) + 5 ( tg x ) + 10 tg x  dx + ( cotg x ) + 5 ( cotg x ) + 10 cotg x  dx
∫
5 3 5 3
   
=  ( tg x ) ( 1 + tg 2 x ) + 4 tg x ( 1 + tg 2 x ) + 6 tg x  dx
∫
3
 
+  ( cotg x ) ( 1 + cotg 2 x ) + 4cotg x ( 1 + cotg 2 x ) + 6cotg x  dx
∫
3
 
=  ( tg x ) + 4 tg x  d ( tg x ) + 6 tg x dx −  ( cotg x ) + 4cotg x  d ( cotg x ) + 6 cotg x dx
∫ ∫ ∫ ∫
3 3
   
( tg x ) 4 2 ( cotg x ) 4 2
= + 2 tg x − 6ln cos x − − 2cotg x + 6ln sin x + c
4 4
( tg x ) m ( cotg x ) m
IV. Dạng 4: D 4 . 1 = ∫ ( cos x ) n
dx ; D4 . 2 = ∫ ( sin x ) n
dx
( tg x ) m
1. Phương pháp: Xét đại diện D4.1 = ∫ ( cos x ) n
dx
1.1. Nếu n chẵn (n = 2k) thì biến đổi:
( tgx ) m m  1 
k −1
dx
∫ ( tg x ) ( 1 + tg x )
k −1
∫ ( cosx ) ∫ ( tg x )  d ( tg x )
m 2
D4.1 = 2k
dx = ÷ =
 cos 2 x  cos 2 x
 C0 + C1 ( tg 2 x ) 1 + ... + C p ( tg 2 x ) p + ... + C k −1 ( tg 2 x ) k −1  d tg x
∫ ( tg x )  ( )
m
=  k −1 k −1 k −1 k −1
( tg x ) m +1 ( tg x ) m +3 ( tg x ) m + 2p +1 ( tg x ) m + 2k −1
C0 −1 C1 −1 C p −1 C k −1
k
= k + + ... +
k + ... + k −1 +c
m +1 m+3 m + 2p + 1 m + 2k − 1
1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m = 2k + 1, n = 2h + 1) thì biến đổi:
( tgx ) 2k+1 2k  1  tg x
2h
 1  sin x
2h
∫ ( tg x )
k
∫ ( cosx ) ∫ ( tg x ) 
2
D4 .1 = dx = ÷ dx =  ÷ dx
2h+1
 cos x  cosx  cos x  cos 2 x
k 2h
 1   1   1  1
∫( u − 1) u 2h du
k
∫
2
=  − 1÷  ÷ d ÷= (ở đây u = )
  cos x   cos x 
2
 cos x cos x
= u 2h  C0 ( u 2 ) − C1 ( u 2 ) + ... + ( −1) C p ( u 2 ) + ... + ( −1) C k  du
k k −1 k −p
∫
p k
 k k k k
2k + 2h +1 2k + 2h −1 2k + 2h − 2p +1 2h +1
u u u u
+ ... + ( − 1) C p + ... + ( − 1) Ck
p k
= C0
k − C1
k k k +c
2k + 2h + 1 2k + 2h − 1 2k + 2h − 2p + 1 2h + 1
30

7. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m = 2k, n = 2h + 1) thì sử dụng biến đổi:
( tg x ) 2k ( sin x ) 2k cos x ( sin x ) 2k
D 4.1 = ∫ ( cos x ) 2h +1
dx = ∫ ( cos x ) 2( k + h +1)
dx = ∫ ( 1 − sin 2
x)
k + h +1
d ( sin x ) ; ( u = s inx )
u 2k du u 2k − 2 1 − ( 1 − u 2 ) 
  u 2k − 2 du u 2k − 2 du
D 4.1 = ∫ (1− u )
2 k + h +1
= ∫ ( 1 − u 2 ) k + h +1
du = ∫ (1− u )
2 k + h +1
− ∫ (1 − u )
2 k+h
Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu
tỉ ta có thể tính được D 4.1.
2. Các bài tập mẫu minh họa:
( tg3x ) 7  1  dx 1
2
∫ ( tg 3x ) ( 1 + tg 3 x )
2
∫ dx = ( tg 3 x )  ∫ d ( tg 3 x )
7 7 2
• D1 = 2
=
( cos3x ) 6
 ( cos 3 x )  ( cos 3 x )
2
3
 
1 + 2 ( tg3x ) 2 + ( tg3x ) 4  d ( tg3x ) = 1  ( tg3x ) + 2 ( tg3x ) + ( tg3x )  + c
8 10 12
1
= ∫ ( tg3x )  7

3 3 8 10 12 
( cotg5x ) 10 10  1  dx
3
• D2 = ∫ ( sin5x ) 8
dx = ∫ ( cotg 5 x )  2 
 ( sin 5 x )  ( sin 5 x )
2
1 3
=− ( cotg 5x ) 10 1 + cotg 2 5x  d ( cotg 5x )
∫  
5
1  ( cotg 5x ) ( cotg 5x ) 13 ( cotg 5x ) 15 ( cotg 5x ) 17 
11
=−  +3 +3 + +c
5 11 13 15 17 
( tg4x ) 7 6  1  tg 4 x
94
• D3 = ∫ ( cos4x ) 95
dx = ∫ ( tg 4 x )  ÷
 cos 4 x  cos 4 x
dx
3 94
1  1   1   1  1 94 ( 2
u u − 1) du
3
= ∫
(
4  cos 4x ) 2
− 1 
  cos 4x 
÷ d ÷=
 cos 4x  4 ∫
1 94 ( 6 1  u101 u 99 u 97 u 95 
= u u − 3u 4 + 3u 2 − 1) du = 
∫ −3 +3 − +c
4 4  101 99 97 95 
1 1 1 3 1 
=  − + − 95 
+c
4 101( cos 4x ) 101
33 ( cos 4x )
99
97 ( cos 4x )
97
95 ( cos 4x ) 
( cotg3x ) 9 8  1  cotg 3x
40
• D4 = ∫ ( sin3x ) 41
dx = ∫ ( cotg 3x )  
÷
sin 3 x  sin 3 x
dx
4 40
1  1   1   1  1 40 2
÷ = − u ( u − 1) du
4
∫
= −  2 − 1÷  ÷ d
3  sin x   sin 3x   sin 3x  3 ∫
31

8. 1 40 ( 8 1  u 49 u 47 u 45 u 43 u 41 
u u − 4u 6 + 6u 4 − 4u 2 + 1) du = − 
4
=−
3 ∫ 3  49
−4
47
+6
45
−4 +
43 41 
+c
1 1 4 2 4 1 
=−  − + − + 41 
+c
3  49 ( sin 3x ) 49
47 ( sin 3x )
47
15 ( sin 3x )
45
43 ( sin 3x )
43
41 ( sin 3x ) 
( tgx ) 2 dx ( sin x ) 2 cos xdx  sin x  (
2
• D5 = ∫ cosx
= ∫ ( cos x ) 2
×
( cos x ) 2
=  ∫ ÷ d sin x )
 1 − sin 2 x 
2
 ( 1 + sin x ) − ( 1 − sin x ) 
2
 1 1 
∫
= 
 ( 1 + sin x ) ( 1 − sin x ) 
 d ( sin x ) =  1 − sin x − 1 + sin x ÷ d ( sin x )
  ∫
 1 1 2  ( 1 1 1 + sin x
∫
= 
 ( 1 − sin x )
2
+ 2
− 2 
( 1 + sin x ) 1 − sin x 
d sin x ) = −
1 − sin x 1 + sin x
− ln
1 − sin x
+c
( tgx ) 4 ( sin x ) 4 cos xdx ( sin x ) 4
• D6 = ∫ cosx
dx = ∫ ( cos x ) 4
×
( cos x ) 2
= ∫ ( 1 − sin 2
x)
3
d ( sin x )
u 4 du 1 − ( 1 − u4 ) du 1 + u2
= ∫ (1 − u )
2 3
= ∫ ( 1 − u2 ) 3
du = ∫ (1 − u )
2 3
− ∫ (1 − u )
2 2
du = I 2 − I1
I1 = ∫
( 1 + u 2 ) du  u 2 ÷
=∫
 
=∫
d u−
u
=−
 1 + 1  du
1
+c=
u
+c
( 1)
( 1 − u2 ) 1
( u)
2 2
2
 1 1 u− 1− u2
u− u−  ÷ u
 u
du 1 (1 + u) + (1 − u) 
3 3
I2 = ∫ (1 − u 2 3 )
= ∫
1  1 1 
 ( 1 + u ) ( 1 − u )  du = 8 1 − u + 1 + u  du
8    ∫

1  1 1 3  1 1 
=  ∫
8 ( 1 − u) 3
+
(1+ u) 3
+ 2 1− u
(1− u ) 
+ ÷ du
1 + u 

1 1 1 du  1  ( 1 + u ) − ( 1 − u )
2 2
( 1 + u2 ) + ( 1− u2 ) 
=  −
8  2( 1 − u ) 2 2( 1 + u ) 2
+6 =  ∫
( 1 − u2 )  8  2 ( 1 − u 2 )
2

2
+3
( 1− u2 )
2
du 

∫
 
u 3 ( 1 + u 2 ) du 3 du u 3 3 1+ u
=
4( 1 − u2 )
2
+ ∫
8 ( 1− u ) 2 2
+
8 1− u 2
=
4
∫ + I1 + ln
( 1 − u ) 8 16 1 − u
2 2
+c
32

9. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
u 3 3 1+ u
⇒ D6 = I 2 − I1 = + I1 + ln − I1
4(1 − u ) 16 1 − u
2 2 8
u 5 u 3 1+ u 2u − 5u ( 1 − u 2 ) 3 1 + u
= − × + ln +c= + ln +c
4 ( 1 − u2 ) 8 1 − u 2 16 1 − u (1 − u2 ) 2 16 1 − u
2
8
5 ( sin x ) − 3sin x 3
3
5u 3 − 3u 3 1+ u 1 + sin x
= + ln +c= + ln +c
8( 1 − u2 ) 16 1 − u 8 ( cos x ) 16 1 − sin x
2 4
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
( tg 6x ) 20 ( cotg 3x ) 11 ( tg x ) 4 ( cotg 2x ) 6
D1 = ∫ ( cos 6x ) 8
dx ; D 2 = ∫ ( sin 3x ) 21
dx; D3 = ∫ ( cos x ) 3
dx ; D 4 = ∫ ( cos 2x ) 5
dx
33

10. V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
1. Phương pháp:
E5.1 = ( cos mx ) ( cos nx ) dx = 1
∫ 2 ∫ [ cos ( m − n ) x + cos ( m + n ) x ] dx
E5.2 = ( sin mx ) ( sin nx ) dx = 1
∫ 2 ∫ [ cos ( m − n ) x − cos ( m + n ) x ] dx
E5.3 = ( sin mx ) ( cos nx ) dx = 1
∫ 2 ∫ [ sin ( m + n ) x + sin ( m − n ) x ] dx
E5.4 = ( cos mx ) ( sin nx ) dx = 1
∫ 2 ∫ [ sin ( m + n ) x − sin ( m − n ) x ] dx
2. Các bài tập mẫu minh họa:
1
∫
• E1 = cos2x .cos5x .cos9x dx = ∫
2
cos 2 x ( cos 14 x + cos 4 x )
=
1
∫ [ ( cos16x + cos12x ) + ( cos6x + cos 2x ) ] dx = 1  sin16x + sin12x + sin 6x + sin 2x  + c
 ÷
4 4  16 12 6 2 
( 3 cos x + cos 3 x )
∫
= ( cosx ) sin8x dx = ∫
3
• E2 sin 8 x dx
4
=
1
∫ ( 3 cos x sin 8x + cos 3x sin 8x ) dx = 1  3 ( sin 9x + sin 7x ) + 1 ( sin11x + sin 5x )  dx
∫
4 4 2
 2 

13 3 1 1 
= −  cos 9x + cos 7x + cos11x + cos 5x ÷ + c
89 7 11 5 
1
∫
• E 3 = ( sinx ) ( sin3x ) ( cos10x ) dx = ∫
( 1 − cos 2 x ) 2 ( sin 13 x + sin 7 x ) dx
4
8
1 (
= 1 − 2 cos 2x + cos 2 2x ) ( sin13x + sin 7x ) dx
∫
8
1  1 + cos 4x 
= ∫
1 − 2cos 2x +
8  2
÷( sin13x + sin 7x ) dx

1
=
16 ∫ ( 3 − 4cos 2x + cos 4x ) ( sin13x + sin 7x ) dx
1
=
16 ∫ [ 3 ( sin13x + sin 7x ) − 4 cos 2x ( sin13x + sin 7x ) + cos 4x ( sin13x + sin 7x ) ] dx
1 
=
16 ∫ 3 ( sin13x + sin 7x ) − 2 ( sin15x + sin11x + sin 9x + sin 5x ) +

1 
+ ( sin17x + sin 9x + sin11x + sin 3x )  dx
2 
34

11. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
1
=
32 ∫
( sin17x − 4sin15x + 6sin13x − 3sin11x − 3sin 9x + 6sin 7x − 4sin 5x + sin 3x ) dx
− 1  cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x 
=  − + − − + − + ÷+ c
32  17 15 13 11 3 7 5 3 
∫ ∫
• E 4 = ( cosx ) ( sin5x ) dx = ( cosx ) ( cosx ) ( sin 5 x ) dx
5 3 2
cos3x + 3cos x 1 + cos 2x
= ∫ 4
×
2
×sin 5x dx
1
=
8 ∫ [ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) cos 2x sin 5x ] dx
1  sin 7x + sin 3x 
=
8  ∫
( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) 2  dx

1
=
16 ∫ [ 2 sin 5x ( cos 3x + 3cos x ) + ( cos 3x + 3cos x ) ( sin 7x + sin 3x ) ] dx
1 
=
32 

∫
2 ( sin 8x + sin 2x ) + 6 ( sin 6x + sin 4x ) + ( sin10x + sin 4x ) +

+ 3 ( sin 8x + sin 6x ) + sin 6x + 3 ( sin 4x + sin 2x )  dx

1
=
32 ∫
( sin10x + 5sin 8x + 10 sin 6x + 10 sin 4x + 5sin 2x ) dx
−1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x 
=  + + + + ÷+ c
32  10 8 3 2 2 
( sin3x ) ( sin4x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x )
•
E5 = ∫ tgx + cotg2x
dx = ∫ sin x + cos 2 x
dx = ∫ cos ( 2 x − x )
dx
cos x sin 2 x cosx .sin 2 x
1
∫
= ( sin 2x ) ( sin 3x ) ( sin 4x ) dx =
2 ∫
( cos 2x − cos 6x ) sin 3x dx
1 −1  cos5x cos x cos9x cos3x 
=
4 ∫ [ ( sin 5x + sin x ) − ( sin 9x − sin 3x ) ] dx = 
4 5
+
1
−
9
+
3 
÷+ c
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
( sin 8x ) 5 dx
∫ ∫
E1 = ( sin 3x ) ( cos 2x ) dx ; E 2 = ( sin x ) ( cos 5x ) dx ; E 3 = ∫ ( tg 3x + tg 5x )
4 3 5 2
2
35

12. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
1
=
32 ∫
( sin17x − 4sin15x + 6sin13x − 3sin11x − 3sin 9x + 6sin 7x − 4sin 5x + sin 3x ) dx
− 1  cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x 
=  − + − − + − + ÷+ c
32  17 15 13 11 3 7 5 3 
∫ ∫
• E 4 = ( cosx ) ( sin5x ) dx = ( cosx ) ( cosx ) ( sin 5 x ) dx
5 3 2
cos3x + 3cos x 1 + cos 2x
= ∫ 4
×
2
×sin 5x dx
1
=
8 ∫ [ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) cos 2x sin 5x ] dx
1  sin 7x + sin 3x 
=
8  ∫
( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) 2  dx

1
=
16 ∫ [ 2 sin 5x ( cos 3x + 3cos x ) + ( cos 3x + 3cos x ) ( sin 7x + sin 3x ) ] dx
1 
=
32 

∫
2 ( sin 8x + sin 2x ) + 6 ( sin 6x + sin 4x ) + ( sin10x + sin 4x ) +

+ 3 ( sin 8x + sin 6x ) + sin 6x + 3 ( sin 4x + sin 2x )  dx

1
=
32 ∫
( sin10x + 5sin 8x + 10 sin 6x + 10 sin 4x + 5sin 2x ) dx
−1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x 
=  + + + + ÷+ c
32  10 8 3 2 2 
( sin3x ) ( sin4x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x )
•
E5 = ∫ tgx + cotg2x
dx = ∫ sin x + cos 2 x
dx = ∫ cos ( 2 x − x )
dx
cos x sin 2 x cosx .sin 2 x
1
∫
= ( sin 2x ) ( sin 3x ) ( sin 4x ) dx =
2 ∫
( cos 2x − cos 6x ) sin 3x dx
1 −1  cos5x cos x cos9x cos3x 
=
4 ∫ [ ( sin 5x + sin x ) − ( sin 9x − sin 3x ) ] dx = 
4 5
+
1
−
9
+
3 
÷+ c
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
( sin 8x ) 5 dx
∫ ∫
E1 = ( sin 3x ) ( cos 2x ) dx ; E 2 = ( sin x ) ( cos 5x ) dx ; E 3 = ∫ ( tg 3x + tg 5x )
4 3 5 2
2
35

13. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
1
=
32 ∫
( sin17x − 4sin15x + 6sin13x − 3sin11x − 3sin 9x + 6sin 7x − 4sin 5x + sin 3x ) dx
− 1  cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x 
=  − + − − + − + ÷+ c
32  17 15 13 11 3 7 5 3 
∫ ∫
• E 4 = ( cosx ) ( sin5x ) dx = ( cosx ) ( cosx ) ( sin 5 x ) dx
5 3 2
cos3x + 3cos x 1 + cos 2x
= ∫ 4
×
2
×sin 5x dx
1
=
8 ∫ [ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) cos 2x sin 5x ] dx
1  sin 7x + sin 3x 
=
8  ∫
( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) 2  dx

1
=
16 ∫ [ 2 sin 5x ( cos 3x + 3cos x ) + ( cos 3x + 3cos x ) ( sin 7x + sin 3x ) ] dx
1 
=
32 

∫
2 ( sin 8x + sin 2x ) + 6 ( sin 6x + sin 4x ) + ( sin10x + sin 4x ) +

+ 3 ( sin 8x + sin 6x ) + sin 6x + 3 ( sin 4x + sin 2x )  dx

1
=
32 ∫
( sin10x + 5sin 8x + 10 sin 6x + 10 sin 4x + 5sin 2x ) dx
−1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x 
=  + + + + ÷+ c
32  10 8 3 2 2 
( sin3x ) ( sin4x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x )
•
E5 = ∫ tgx + cotg2x
dx = ∫ sin x + cos 2 x
dx = ∫ cos ( 2 x − x )
dx
cos x sin 2 x cosx .sin 2 x
1
∫
= ( sin 2x ) ( sin 3x ) ( sin 4x ) dx =
2 ∫
( cos 2x − cos 6x ) sin 3x dx
1 −1  cos5x cos x cos9x cos3x 
=
4 ∫ [ ( sin 5x + sin x ) − ( sin 9x − sin 3x ) ] dx = 
4 5
+
1
−
9
+
3 
÷+ c
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
( sin 8x ) 5 dx
∫ ∫
E1 = ( sin 3x ) ( cos 2x ) dx ; E 2 = ( sin x ) ( cos 5x ) dx ; E 3 = ∫ ( tg 3x + tg 5x )
4 3 5 2
2
35

14. Bài 4. Tích phân cơ bản của các hàm số lượng giác
1
=
32 ∫
( sin17x − 4sin15x + 6sin13x − 3sin11x − 3sin 9x + 6sin 7x − 4sin 5x + sin 3x ) dx
− 1  cos17x 4cos15x 6cos13x 3cos11x cos9x 6cos7x 4cos5x cos3x 
=  − + − − + − + ÷+ c
32  17 15 13 11 3 7 5 3 
∫ ∫
• E 4 = ( cosx ) ( sin5x ) dx = ( cosx ) ( cosx ) ( sin 5 x ) dx
5 3 2
cos3x + 3cos x 1 + cos 2x
= ∫ 4
×
2
×sin 5x dx
1
=
8 ∫ [ ( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) cos 2x sin 5x ] dx
1  sin 7x + sin 3x 
=
8  ∫
( cos 3x + 3cos x ) sin 5x + ( cos 3x + 3cos x ) 2  dx

1
=
16 ∫ [ 2 sin 5x ( cos 3x + 3cos x ) + ( cos 3x + 3cos x ) ( sin 7x + sin 3x ) ] dx
1 
=
32 

∫
2 ( sin 8x + sin 2x ) + 6 ( sin 6x + sin 4x ) + ( sin10x + sin 4x ) +

+ 3 ( sin 8x + sin 6x ) + sin 6x + 3 ( sin 4x + sin 2x )  dx

1
=
32 ∫
( sin10x + 5sin 8x + 10 sin 6x + 10 sin 4x + 5sin 2x ) dx
−1  cos10x 5 cos 8x 5 cos 6x 5 cos 4x 5 cos 2x 
=  + + + + ÷+ c
32  10 8 3 2 2 
( sin3x ) ( sin4x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x ) ( sin 3x ) ( sin 4 x )
•
E5 = ∫ tgx + cotg2x
dx = ∫ sin x + cos 2 x
dx = ∫ cos ( 2 x − x )
dx
cos x sin 2 x cosx .sin 2 x
1
∫
= ( sin 2x ) ( sin 3x ) ( sin 4x ) dx =
2 ∫
( cos 2x − cos 6x ) sin 3x dx
1 −1  cos5x cos x cos9x cos3x 
=
4 ∫ [ ( sin 5x + sin x ) − ( sin 9x − sin 3x ) ] dx = 
4 5
+
1
−
9
+
3 
÷+ c
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
( sin 8x ) 5 dx
∫ ∫
E1 = ( sin 3x ) ( cos 2x ) dx ; E 2 = ( sin x ) ( cos 5x ) dx ; E 3 = ∫ ( tg 3x + tg 5x )
4 3 5 2
2
35